撲克牌的遊戲

本文發表於 2009 年 09 月 13 日 14:40

ha01.JPG

有人說:「數學其實是玩定義的遊戲」。

也就是說,如果我們把定義、定理當作遊戲規則的話,那麼數學是依照遊戲規則而進行的一種遊戲。

閒話少說,我們趕快來玩這一有趣的遊戲吧!先拿一副撲克牌,把牌面數字代表10以上(含)的牌取下,(為什麼?)然後開始依規則玩。遊戲規則:將剩下36張牌澈底洗牌,好讓這遊戲有普遍性,或不讓人作弊。 

然後在桌面分下5張牌,如下圖(這是例子,你可以分下任意張數之牌)

nm0000000101.JPG

然後依下程序進行:以相鄰兩牌之數字和扣減9後之數字牌壓在兩牌之中心;如相鄰兩牌之數字和小於9,則不必扣減9,直接用數字和就可以。本例第一張牌是黑桃9,第二張牌是紅心8,數字和是9+8=17,扣減9,17-9=8。如果不習慣減法的人,也可以使用加法,即數字和是十位數與個位數之數字和,1+7=8,此例就以梅花8壓在上面。  又如第四張是梅花5,第五張是方塊8,5+8=13,1+3=4,就以方塊4壓在上面。原有5張牌,經運算後剩4張牌。聰明的讀者一定會想到,此遊戲最後只剩一張牌,那麼最後那張牌的點數是多少?

mmm001n02.JPG

讀者很快就得到最後那張牌的點數是8,如圖。同時也發現4種花色:黑桃、紅心、方塊、梅花,在這遊戲中並無作用,借用撲克牌有一好處是方便。讀者取牌來玩,第一次分下的牌數可以有任意張數,經過數次遊戲後,有人會問,能不能不經過這樣繁複的手續而得到答案(最後那張牌的點數)?

mmm001n03.JPG

 這個遊戲是由一串的數字和或數字和扣減9所構成的,如果最初所給的一列牌9、7、1、5、8一經放好,那麼這遊戲的終點數字8,可能是這遊戲中不變的精靈。我們來看圖,這些牌組成一金字塔,塔頂(最後那張)數字8。第二排二張牌的數字和是8。第三排三張牌的數字和是6+5+1=12 ,而1+2=3,3+5=8 。第四排四張牌的數字和是7+8+6+4=25,再加上中心數字和2次則為25+2(8+6)=53,5+3=8。 第一排與第二排是每張牌的數字各乘上1 ,第三排則依序各乘上1、2、1,第四排則依序各乘上1、3、3、1,然後求其數字和。至於第五排是否依序各乘上1、4、4、4、1,然後求其數字和?9+4(7+1+5)+8=69,而6+9=15,1+5=6,不是8。不是依序各乘上1、4、4、4、1,而是依序各乘上1、4、6、4、1,即9+4×7+6×1+4×5+8=71,7+1=8。  事實上,這個遊戲背後隱藏著一個金字塔數字三角形,稱為巴斯卡三角形或楊輝三角形。楊輝在1261年所出版的《詳解九章算法》有此圖。

math0001.JPG

 巴斯卡三角形是由演算(a+b)n而來的。下面我們來看巴斯卡三角形或楊輝三角形與費伯納西數列的關係。

17 回應 針對 “撲克牌的遊戲”

  1. 訪客 寫道:

    >>>你可以分下任意張數之牌
    只有36張如何可以說可以分下任意張數之牌?

    所以, 本文有缺憾!!

  2. bill 寫道:

    針對此例,文字敘述與圖形第五張牌8和7教人感覺很糊塗,請釋疑,謝謝!

  3. 葉雪淳 寫道:

    定義遊戲


      
      

  4. 林炳炎 寫道:

    聽完葉前輩的「定義遊戲」,我跑到youtube看關連動畫,乖乖,一大堆迷人的費伯納西數列動畫,在此介紹3個,不必管外文,看動畫。

    Fibonacci Numbers
    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. . . Look carefully. Do you see the pattern? Each number above is the sum of the two numbers before it. Though most of us are unfamiliar with it, this numerical series…

  5. 林炳炎 寫道:

    Fibonacci Project
    A slide show on the Fibonacci Sequence and its uses.
    YouTube展示出費伯納西數列如何迷人,不必用太大的勁,每人都能從影像中發現美麗、自然。

  6. 林炳炎 寫道:

    上面的問題容後再回答!!
    Who is God? – A Seqüencia Fibonacci

  7. 林炳炎 寫道:

    我來回答「只有36張如何可以說可以分下任意張數之牌?」
    只有36張,會是限制的。我們來看這遊戲本身的結構,它基本上是要構成一三角形撲克牌,從金字塔頂往底部看,頂部只有1張撲克牌,2層有2張,3層有3張,第n層有n張,如果我們要搭n層金字塔形,需多少張撲克牌?
    1+2+3+…n=n(n+1)/2

    層數……. 1………..2……….. 3……….. 4……….. 5……….. 6……….. n
    撲克牌數.. 1……….. 3……….. 6……….. 10……… 15……… 21……… n(n+1)/2

    撲克牌數就是三角形數。所以,如果想要「分下任意張數n之牌」,就得怎準備n(n+1)/2(三角形數)才有辦法玩下去,也就是要多準備幾付撲克牌。

    有人說:「數學其實是玩定義的遊戲」。但定義要完整,這個題目除了上述缺陷外,還有,如果我只「分下1張牌」、「分下2張牌」、「分下3張牌」、「分下4張牌」很明顯的都有… 無法獲得『這遊戲的終點數字8,可能是這遊戲中不變的精靈。』,如本頁的例子。

    除非,「分下1張牌」是8;「分下2張牌」是1&7、2&6、3&5、4&4;「分下3張牌」、「分下4張牌」能是8的終點數就比較複雜。你有辦法列出嗎?

    至於Bill さん的問題,確實是敘述與圖沒有一致,要圖文一起修正才行(要費工夫動手術)。謝謝Bill さん的指正。

  8. 葉雪淳 寫道:

    9月12日,上百萬人集會遊行於華盛頓DC,
    抗議歐巴馬政權擴大財政規模及政府權限肥大化。

    9/12 Taxpayer Tea Party March on Washington, DC
    http://www.youtube.com/watch?v=-VMXz6xGeqc

    Today’s DC Obama protest crowd over a million
    http://www.americanthinker.com/blog/2009/09/first_reports_from_ap_and_ny_t.html
      
       
       

  9. 葉雪淳 寫道:

    民主黨執政後,首相官邸HP上的日本國旗不見了。

    以前的首頁,有「北朝鮮のミサイル・核問題への対応」
    以及「天皇陛下御在位20年」等Link...
    http://s03.megalodon.jp/2009-0916-1822-00/www.kantei.go.jp/

    可是,現在這些Link也不見了...
    http://s02.megalodon.jp/2009-0916-2356-27/www.kantei.go.jp/
       
       
       

  10. 林炳炎 寫道:

    仙人掌所呈現的也與費伯納西數列數字有關之圖案

    8
    sunflower001.JPG

  11. 林炳炎 寫道:

    13左旋花序仙人掌花 21右旋花序

    sunflower004.JPG

  12. 林炳炎 寫道:

    上面沒有定義三角形數

    matheplay0025.JPG

  13. alzing 寫道:

    我有一個問題,有1到10各10張撲克牌,甲乙兩輪流選取,甲先取一張、乙再選一張、…。每人各取完5張後,將5張撲克牌加總,誰的個位數字大就贏。請問是先取者必勝還是後取者?必勝法則又是什麼?

  14. 訪客 寫道:

    因有1到10各10張撲克牌, 總共有100張
    先拿得他一定可以孻足4張10與1張9=49
    後拿者也一樣可拿到49
    如此沒有輸贏

    題目是否要改成1到10各1張撲克牌
    可能會比較刺激

  15. scl 寫道:

    數學頑童有伴了!

  16. 訪客 寫道:

    學長
    這題目不好作, 要請電腦做, 還想不到如何解呢?

  17. 林炳炎 寫道:

    alzingさん這個問題抳的數學遊戲問題, 所以就先貼出 抳的數學遊戲

    alzingさん這個問題比較複雜, 如果簡化為1到10各1張撲克牌, 可能比較容易分析
    先取者要拿10!!然後在第3輪取牌時要取得和為20的牌
    然後看後取者的動向, 他無法在第3輪取得20, 所以他就會輸
    請大家去分析為什麼

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