大數學家高斯 Johann Carl Friedrich Gauss

本文發表於 2009 年 10 月 16 日 07:37

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painted by Christian Albrecht Jensen

高斯(Johann Carl Friedrich Gauß, 1777年4月30日~1855年2月23日)是德國數學家、物理學家、天文學家。生於布倫茲維克,卒於哥廷根。高斯是近代數學奠基者之一,在歷史上影響之大,可以和阿基米德(Archimedes)、牛頓(Newton)、尤拉(Euler)並列。他被公認為有史以來最多產和影響深遠的數學家之一,有「數學王子」之稱。「數學是科學女王」,高斯有一次如此說,而他的一生也是這句話的最佳證明。高斯對理論和實際應用都有濃厚的興趣,他在數論、天文學、磁學、應用物理、幾何學 · 等都有貢獻。

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高斯生於1777年4月30日,在德意志的布倫茲維克。他的父親曾當過園丁、運河看守人、泥水匠。他的母親是石匠的女兒,是個有堅強個性的聰明婦人。他的哥哥對高斯影響很大,他常常鼓勵他,並增強他的辯論機智。

高斯還不會說話時就會計算了。據說在他3歲以前,有一天,他的父親正在計算老闆給他的工資,口中一面說一天多少錢,從什麼時候到什麼時候共多少天,一共多少錢,當他父親算好之後,忽然聽到細小的聲音說:「爸,計算錯了,應該是 · ·才對。」他的父親重新核對之後,發現他的兒子才對。值得注意的是,高斯並沒有拿筆來計算,他用心算。

當他10歲時,在學校上算術課,老師出了一道算術, l + 2 + 3 + … … + 100 ,求 l 加至 100 的和,老師把題目出完,他就舉手回答說:「 5050 」。原來他是用 l + 100= 2 + 99 = 3 + 98 = …50+51= 101 的型式,形成 50 對和為 101 的相加對,故答案是 5050 。

14歲時,他被介紹給布倫茲維克公爵,公爵已經聽說他的名聲,成為高斯的贊助人。然後他進入在布倫茲維克的加洛林中學,在那兒他很快就精通牛頓、尤拉、拉格蘭治等人的作品。1795 年 10 月高斯離開加洛林中學,到哥廷根大學研究,他在數學與古代語言之間左右為難,這兩個科目他都很喜歡,在 1796 年 4 月,他終於決定以數學為其終生職業。

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德國於1955年2月23日發行郵票,紀念高斯的100週年忌辰

高斯有一很有名的幾何作圖—-作一正17邊形圖,歐幾理得曾證明正3邊、正4邊、正5邊、正15邊等圖形,都是幾何可作的圖形。古代希臘人曾規定以直尺及圓規兩種工具來作幾何圖形,如不能用這兩種工具來作圖的,稱為幾何不可作圖,歷史上有三大不可作圖之一是三等分任一已知角,各位讀者請注意,這三大不可作名題,已經被證明不可作了,大家不要再花精力於這方向研究。古希臘人知道無法作出正7、9、11、13、14、17邊形,在往後兩千年沒有一個數學家懷疑這個結果,但高斯用直尺及圓規造出了正17邊形,他同時說明正 2n邊形可作,費馬質數( 3 , 5 , 17 , 257 , 65537, … )的奇數項的邊數的正多邊形也是「幾何可作圖」。

高斯對此一發現既高興又驕傲,對他的朋友說,他的墓碑上要刻上正17邊形。在布朗斯韋克的高斯紀念碑上所刻的是17稜角的星,因為雕刻的工人堅持說,正17邊形刻出來之後每個人都會誤以為是圓。想看高斯墓碑請上google以Johann Carl Friedrich Gauss  Cemetery去檢索,在http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss上可以看到,但攝影者只注意整體造型,不在乎是正17邊形或17稜角星。

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 高斯10歲時回答老師的問題,是一個有趣的問題,我們把 1 , 1 + 2 = 3 , 1 + 2 + 3 = 6 , 1 + 2 + 3 + 4 = 10 , 1 + 2 + 3 + 4 + 5= 15 · · … , 這1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 …稱為三角形數。這是因有這些數字的物品,我們可以如圖所示一樣把它排成三角形。設 n 是自然數,則n(n+ 1)/2是三角形數,也是高斯回答老師問題的「公式」。在 1796 年 8 月 10 日的日記,高斯證明任一自然數可以分成三個三角形數的和,如 10 = l + 3 + 6 , 15 = 6 + 6 + 3 …他用符號「數= △ + △ + △ 」來表示他的成就。

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如果你有一盒玻璃珠,可以拿來玩三角形數,你可照圖示方式排列,但這樣排列太單調,我們為何不玩一點花樣?首先在桌面用 15.個玻璃珠排成如圖的三角形,再拿出 10 個玻璃珠放在 15 個玻璃珠之間,每三個玻璃珠中央上面放一個玻璃珠(第一次 15 個玻璃珠要一個一個靠在一起,不要有距離,只要排成正三角形就可以),你會發現 10 個玻璃珠正好放完。然後拿出 6 , 3 , 1 個玻璃珠,依無同樣的方法,剛好可以擺成一正四面體,你共用了 1 + 3+ 6 ++ 15 = 35 個玻璃珠,你會發現由上而下,各層的玻璃珠數是 1 , 3 , 6 , 10 , 15 ,而其總珠數依層數由 1 至 5 分別為 1 , 4 , 10 , 20 , 35 這種數稱為四面體數。因此,我們可以發現,若 n 是自然數,則n(n + l)( n + 2)/6是四面體數。你有沒有辦法把這題目玩下去呢? 10

四度空間四面體數、五度空間四面體數、六度空間四面體數…都可以造出來,但似乎不容易以實體表現出來?

(本文原登於《幼獅少年》,因發現自從在blog增加『數學遊戲或趣味數學』文類,增加不少這類網友進入閱讀。)

2 回應 針對 “大數學家高斯 Johann Carl Friedrich Gauss”

  1. Hiauhong 寫道:

    高斯100週年忌的發行國 DDR 是東德.

  2. 葉雪淳 寫道:
    Gauss 高斯

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