抳的數學遊戲

本文發表於 2009 年 12 月 02 日 07:20

一百多年前,美國正建築橫越東西的鐵路,在中西部地區,由於崇山峻嶺,工作異常艱苦,很多白人都受不了,最後只剩愛爾蘭人和廣東人。白人一直自以為自己是優秀民族,其他人種都是劣等民族,當時,曾經舉行競賽,看誰先建築鐵路到中點,誰就獲勝。他們把較容易施工的路段給了愛爾蘭人,而把困難的路段留給廣東人,廣東工人在群策群力,肯吃苦下,終於首先到達中點,勝了這次競賽。」(沒有經考證的故事 )

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在這次鐵路建造當中,東方的數學遊戲就傳播到西方世界了。這種遊戲就叫做「ㄋㄧ」(注音符號 ) ,「ㄋㄧ」是廣東話或台語(抳),意思就是取或拿走。一直到現在,很多外國人還是用「ㄋㄧ」的英文字母(NIM)來命名這遊戲,在這裹我們用「抳」「拈」表示「ㄋㄧ」這個字。

話說當美國橫越東西的鐵路建造時,廣東工人們,在工作閒暇之餘,就用石頭玩遊戲來排遣寂寞。這種遊戲有許多種型式,西徉人看到廣東人玩這種遊戲,感到很奇怪,有的人就跟廣東人對玩起來「抳」「拈」這種數學遊戲就流傳到西洋去了,西洋人用硬幣在桌上玩。

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老外:請問您,這是什麼遊戲?老廣:這叫做「抳」「拈」,或叫撿石子。老外:怎樣「拈」「抳」?老廣:規則是這樣,在這二堆石于(數目不一樣),可以一次在一堆中取任意多個石子,或者可以一次在兩堆取走相同數目的石子,最後一次取石子的人就贏了這局遊戲。但是輪到取的時候,不能不取。老外:能不能跟我玩這有趣的遊戲?老廣:當然可以。

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這裹有兩堆石子,一堆有7個,一堆有10個,就請先拿吧!老外:那我就不客氣啦,我在10個石子那堆取5個。老廣:我在5個石子那堆取1個石子。老外:我每一堆都取2個石子。老廣:我在5個石子那堆取4個石子。老外:我不管是取1個或2個,最後一次取石子的人一定是你,你真高明!老外回到工寮,心中悶悶不樂,高人一等的自尊心頓時像洩了氣的皮球;以後,他天天閉門研究,想戰勝廣東人。朋友,你也拿出二堆東西(硬幣、石子、火柴 …),自己找伴玩玩看,研究一下,如何戰勝對方。

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有一本很有名的數學遊戲書,書名是 359 題數學消遣,就收集有這遊戲,稱為威瑟夫遊戲。當這本書翻譯成英文時,譯者特別註明,威瑟夫於1907年討論過這遊戲,但是他顯然不知道這遊戲在很早以前廣東人就會玩,叫做撿石子的遊戲。很多討論這遊戲的文章稱為「ㄋㄧ」或威氏遊戲,到現在還有數學家研究有關這類遊戲的其他形式。這種遊戲的主要原則是:你要把石子取走後,留下一個安全殘局給對手,當對手從這安全殘局取石子後(不管怎樣取),就會留下不安全殘局,而失敗了。問題中,老廣留下2個殘局,都是安全殘局,而老外都留下不安全殘局。為了討論方便,我們把2堆石子的數目 用小括弧括起來,數目較小的排在前面。那麼,原來2堆石子是(7,10) 老外、老廣輪流取後之殘局是:(7,10)→(5,7)→(4,7)→(2,5)→(1,2)。其中(1,2)與(4,7)是安全殘局。

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(1,2)是安全殘局的理由是:不管對手取一個石子或二個石子,總會留下1堆1個石子或1堆2個石子或2堆1個石子的殘局而落敗。要說明(4,7)是個安全殘局,須費點口舌,我們先看看除了(1,2)是安全殘局外,還有那些是安全殘局呢?

這遊戲的安全殘局是:(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)、(14,23)、(16,26)…我們先看看為什麼(3,5)安全殘局呢?理由很簡單,依照遊戲的規則,不管你怎樣取,你都沒有辦法留下(1.2)的殘局,而(1,2)是非常明白的安全殘局,所以(3,5)也是安全殘局。同樣道理,你也沒法取一次,就使(4,7)的殘局變成(3,5)或(1,2)的殘局,所以(4,7)也是安全殘局。但這些安全殘局是否有規則呢?如果有規則,我就不必背那一堆數字,而能戰無不勝。有的,…

我們把上面的殘局給予順序排列,稱(1,2)為第一殘局,為第1殘局。(11,18)為第7殘局,(16,26)為第10殘局。(11,18)兩數怎樣求得? 7 × 1.618 = 11.326 , 7×2.618 = 18.326 觀察上面二式,我們就知道把第幾殘局之數字分別乘以1.618 , 2.618 ,然後拋棄小數,就可求得。2.618=1.618 × 1.618 , 1.618是黃金分割比(也就是較大相鄰費伯納西數相除的結果),較正確的小數是1.6180339…,如果長寬二邊的比接近此數的矩形,則稱為黃金矩形,此矩形令人感到較其他的矩形漂亮。我們如何利用黃金分割比來戰勝對手呢?如對手留下(25,42)的殘局,你如何取?先求是第X安全殘局, 25÷1.618 = 15.45 … 知可以形成第15安全殘局, 15×2.618 =39.27 ,則第15安全殘局是(25,39) ,只要在42那堆取3個石子即可。如果你的對手和你一樣,知道這規則,那就只有先取的人會贏這遊戲!

9 回應 針對 “抳的數學遊戲”

  1. 三島 寫道:

    板大
    你把數學遊戲做法,都寫出來,那網友沒有機會去玩。數學遊戲的方法或遊戲通則一寫出來,就產生網友沒戲唱。就沒有人會上來討論或回應。

    但既然稱為數學,它有一個通則,就是可以把題目擴充,比如說,這題目是2堆石子,那如果是3堆石子的話,上面的規則是否還成立?

    如果擴充到n堆的話,那又會怎樣?

  2. 北投埔 寫道:

    三島さん的說法正確,3堆石子的話,是複雜很多。一元一次方程式是國中生的課題,很簡單。一元二次方程式的話就困難多,但仍然是國中生的課題。一元三次方程式、一元四次方程式,困難太多,現在已經不在課本中出現,但仍然可以找到公式來計算。至於一元五次方程式,根本是無解(找不到公式來計算,特殊型式是有解的)。這是說明,只加1 ,複雜的程度或難度是以「冪」來增加。

    3堆石子、4堆石子…n堆石子的話,則留給網友去找解決的方法。

  3. 楊建忠 寫道:

    林前輩:天佑台灣

    25÷1.618 = 15.45 … 知可以形成第15安全殘局 是否應為16安全殘局 ( 25 ,41 )
    15安全殘局應是 ( 24 ,39 )

    楊建忠 敬上

  4. 林炳炎 寫道:

    楊兄, 你的正確!!謝謝指正!!
    LKK 有些老胡塗!!應該還要算 15×1.618 =24.27

    (1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)、(14,23)、(16,26)、(17,28)、(19,31)、(21,34)、(22,36)、(24,39)、(25,41)這是第1~16安全殘局

  5. 北投埔 寫道:

    阿明與阿聰是趣味數學的愛好者,兩個人常常找一些問題來對抗,所找的問題以能困住對方為最佳。阿明在他父觀的書上,看到抳這遊戲,他拿了銅板和他父觀一面玩一面研究,最後,他終於會玩了。第二天,阿明就向阿聰挑戰,他拿了 12個銅板,在桌上排成3堆,各堆的銅板數是 3 , 4 , 5 。

    阿明:這是一種抳(拈)的遊戲,你可以每次從一堆中取銅板,最少取一個,最多把那一堆取完,但不能在同一次取2堆或3堆以上的銅板。最後一次取銅板的人贏。阿聰:這種遊戲我還是第一次見到呢。阿明:這是東方人發明的數學遊戲,傳到西方以後,現在又倒傳回來的。你開始取銅板吧!阿聰:我在第2堆取 2 個銅板。(殘局3 ,2, 5)阿明:那我在第3堆取 4 個銅板。(殘局3 , 2 , 1)

    阿聰:第一堆取光。(殘局0 , 2 , 1)阿明:我在第二堆取 l個銅板。(殘局0 , 1 , 0)

    阿聰:我只能在2堆、3堆任取1個銅板,而讓你取走最後銅板,你贏了。真不相信,讓我先取,看你還能再贏嗎?能不能排四堆?阿明:當然可以,你要排5堆也可以。•阿聰:好,那就排4堆吧!第1堆排 7 個,第2堆排5個,第三堆排 9 個,第四堆排2個,我先取了。
    ……………………
    阿聰換了很多種銅板排法,也讓阿明先取了幾次,結果,阿明全嬴了,阿聰只有認輸,要阿明教他贏的祕訣。各位網友們,你們也找幾個人,拿些銅板,一面玩一面研究,看看能不能找出這抳(拈)的戰勝注則。

    這種遊戲,在西洋的數學雜誌(不一定是數學遊戲),全部稱為NIM抳(拈),到現在還有不少數學家,在研究這遊戲變形的問題呢!

    這遊戲一直到100年前,才由哈佛大學的數學系副教授查理士•包登,提出一篇詳細的分析和證明,才找出這遊戲的戰勝怯則,大家不要以為,數學系副教授的解答一定很難,事實是,發現戰勝法則是不容易的,但我們用這戰勝法則倒是很簡單。包登利用數的二進位表示法,解決了這問題。大家如果看過「土豆與哈比」電視節目,就知道二進位數與電腦有不可分的關係。我們為什麼會採用十進位制,那是因我們有十個手指頭,如果我們只有二個手指頭,我們可能就會用二進位制。世界上最早的二進位記載,是周朝易經的八卦,八卦是用「陰」「陽」二符號來表示,正如用「0」「1」來表示,據說發明二進位數學的人,曾受到易經八卦的影響。

    我們如何用二進位表示數呢?0遠是0,1 還是1 , 2 就得進位而成為 10 , 3 是 11 ,4 是 100 ,5 是 101 ,6 是 110 ,7 是 111 .. 這結果很簡單可以得到,用2來除我們想的數,如9 ,9÷2=4 餘1,4÷2=2 餘0,2÷2=1 餘0,1÷2=0 餘1,將餘數由後往前寫就成1001 。

    包登的方法很簡單,在你取完銅板之後,要留下安全殘局給對方。如果對方留下安全殘局給你,你就無法留下安全殘局(除非對方不懂方法,只是幸運留下)。什麼是安全殘局?各堆銅板數的二進位表示法中,如果每一進位都有偶數個「1」的話,那就是安全殘局,否則就不是安全殘局。

    我們以阿明與阿聰所玩的 3 、4 、5銅板為例來說明。3 、4 、5的二進位表示法分別是11 、100 、101 。用眼睛一看,就知道第1位數有2個「1」、第2 位數有1個「1」、第3位數有2個「1」。這遊戲開始是不安全殘局,先拿者可以把第2 位數有1個「1」拿掉,也就是說把4那堆拿出1銅板,就能成為安全殘局。

    在數學上,解答一個問題是重要的,但能提出一個問題,而讓人研究,是更重要的。像本文所述,東方人提出了問題,而西洋數學家花了多年的功夫,提出了解答。像這種遊戲,大家可以改變取法,或改變贏的規定,均能創造出新的問題,在木文結束前,留下一個只有一堆的抳(拈)的遊戲,讓大家找找戰勝的法則,「一堆銅板,只有 l 00枚,每人每次只能最少取 l 枚或最多取 7 枚,要如何,才能是最後拿光銅板者。」

  6. 訪客 寫道:

    (25,41)是第16安全殘局, 那取法是在42那堆取1個石子!才能留下安全殘局!

  7. 顏榮皇 寫道:

    請參酌我的學生科展作品,撿石頭!
    第47屆全國科學展覽國小數學科。
    http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/47/elementary/080407.pdf

  8. 顏榮皇 寫道:

    借分享!

  9. 北投埔 寫道:

    OK

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