減法的數學遊戲

本文發表於 2009 年 12 月 11 日 16:06

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減法也能產生迷人的花樣,你相信嗎?對每一個人來說,減法是最簡單的數學運算,由於簡單沒有人會相信減法能產生樂趣。遊戲就會先從定義開始:卡布列克運算。

拿n位數字(要有n-1位相異)來,將它拆成n個個位數,然後依大小排列,稱為M,再依小大排列,稱為m,計算M-m之差,將差再重複上述計算。如此一直算下去,就稱為卡布列克運算。

拿2位數字來,這裡11、22、33、44、55、66、77、88、99要被剔除。而(10、01),(20、02)..是視同卡布列克運算對,可以做卡布列克運算。經過一番卡布列克運算,我們會發現這運算有一規則,由於之前沒人對此做描述,版主就不客氣的命名「林氏輪迴」。2位數字的卡布列克運算一定會落入「林氏輪迴」。

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其次,我們來看3位數字的卡布列克運算。雖然卡布列克沒有在文中說,但要把同樣結果歸功於他,就會得到3位數字的卡布列克常數495。這類減法做多了,會發現被減數與減數,只是首尾2個數字對調,中間數字不變是9,而首尾2個數字可以歸入上述「林氏輪迴」之一對:0981632745。所以,任意3位數,符合卡布列克運算規則者,其第一次運算結果一定會是下列5個差之一:990981972963954495。繼續下去而達到運算終點495 

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1955年印度的數學家卡布列克在美國的數學雜誌,發表了『數目6174的有趣性質』,1959年他又發表『新常數6174』,我們稱它為卡布列克常數。符合卡布列克運算規則的4位數,經運算後會經過特殊路徑,而達到運算終點6174。

5位數、6位數..就留給網友去練習並歸納出結論。當然比上面要複雜與困難。在結束本文之前來個有趣的擴充:

工程師奧羅夫有個有趣的發現:3位數字的卡布列克常數495,把數字拆解,然後排成594依序插入495,而得到549945 ,把這6位數拿來做卡布列克運算,995544 445599 549945 而依卡布列克運算,仍然是549945

594拆解,再依序插入549945  ,得到9位數554999445 ,將554999445拿來做卡布列克運算後,仍然是554999445 

其次來看卡布列克常數6174 ,將36插入6174得到631764,將631764拿來做卡布列克運算後,仍然是63176436 再插入631764得到63317664 ,將63317664拿來做卡布列克運算後,仍然是63317664。後面這些應該稱為「奧羅夫現象」。

4 回應 針對 “減法的數學遊戲”

  1. 北投埔 寫道:

    十進位制五位數的卡布列克運算

    與上述三位數字相同(最下方那個影像檔),差之中央位置的數是9,而其餘四位數之減法分類恰與上述相同。把上面三十個數的前面添上一個9,然後將這三十個數一個一個拿來,作卡布列克運算,我們發現形成三個循環。所以,五位數是沒有卡布列克常數的。

  2. 北投埔 寫道:

    十進位制中那些位數有卡布列克常數?

    1981年,麻州巴森學院(Babson College)的布列奇特(G. D. Prichett)、羅丁頓(A. L. Ludington)、拉片塔(J. F. Lapenta),在二月份的The Fibonacci Quarterly費氏季刊上,花了八頁篇幅解決了上面的問題,他們的題目是「決定所有十進位制的卡布列克常數」。他們從任意r進位制及n位數著手,把n分成奇數及偶數,如果只考慮被減數及減數間之差的絕對值(不借位),則形成左右對稱的「差」。由此分類及各種減法差的分類,他們建立了卡布列克運算的一般定理及系,最後證明了十進位制的卡布列克常數只有495及6174。

    G. D. Prichett, A. L. Ludington, and J. F. Lapenta, “The determination of all decadic Kaprekar constants”, The Fibonacci Quarterly, (2):45~52, 1981.

  3. nonself 寫道:

    林氏輪迴及卡布列克常數除了趣味性之外, 有什麼應用嗎?

  4. 林炳炎 寫道:

    純娛樂及發現數學美!!!讓人會熱愛數學!!

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