向快樂的靈魂致敬

本文發表於 2010 年 01 月 12 日 15:20

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版主註:1980年在數學界,不,在費氏空間消失了一顆明亮的巨星——何格特(V. Hoggatt)。他生於1921年,1963年時與布魯西奧(A. Brousseau)和魯格里斯(I. D. Ruggles)共同開闢了一個新的數學園地——費氏季刊。費氏季刊登載費氏數列及其相關數字的一些美妙性質,其中很多文章只要具備高中數學知識就能欣賞。這個園地十八年來經他們辛勤的耕耘,不斷開出神妙之花,但何格特卻提早離開這園地。不過,仍有無數的追隨者將踏著他的腳步,繼續在這花園裡播種。1981年8月份的費氏季刊,為了懷念這位園丁的成就,特刊載師友們為他所寫的紀念文。版主特地譯了他的數學啟蒙老師——艾維斯(H. Eves)的宏文,讓大家知道巨星如何上升。

那是1940年代的中期,我離開紐約州西拉克斯(Syracuse)大學的應用數學系,而就華盛頓州達科馬(Tacoma)的Puget Sound學院(現為大學)的數學系主任。在新職位上,我的教職是學院的初級課程——代數和三角學。第一次上課時,就發現在二十幾位學生中,有一個外表伶俐而碩健的傢伙,他正全神貫注的聽緒論介紹。

一段時間過後,我知道這個學生名叫何格特,正從陸軍退下來,對數學擁有不尋常的資質與愛好。毫無疑問的,在我心目中開始有了這樣的念頭:他是數學指導者所尋找的夢——具有潛力的未來數學家。何格特喜歡討論數學的事物,很快的,我們利用下午,偶而是傍晚,在達科馬鎮上散步並討論數學。在散步中,我提出那些我以為會引起何格特想像及當時他所能理解的題材。

因何格特對數學的美麗性質有特別偏愛和直覺的感受,我們開始討論一個他喜愛的題材——畢氏三連數(Pythagorean triples)。記得有一天晚上,在一簡短討論之後,我想試試他對於新習得知識的應用能力。當時我正好讀完伯努利(J. Bernoule)的1744年著作(Opera of 1744),發現了一個吸引人的小問題:「泰塔斯(Titius)給朋友山普羅尼斯(Sempronius)一塊三角形田地,三邊長是50、50、80,以交換一塊三邊長是50、50、60 的田地,我說這是一項公平的交易。」

何格特看完題目後,我告訢他說,兩個不全等的等腰三角形,如果邊長均為整數,且有相同的腰長、面積,則我們稱此二等腰三角形為一伯努利三角形對。當時,我要何格特找出做這種伯努利三角形對的方法。他立刻發現,這種三角形對可以從畢氏三角形得到。將二個全等的畢氏三角形的短股重合,可得到一等腰三角形;將上述畢氏三角形的另一股重合,可得到另一等腰三角形,此二等腰三角形即構成伯努利三角形對。泰塔斯與山普羅尼斯交換的二塊田地,即由30、40、50畢氏三角形組成。何格特同時指出,用他的方法構建的伯努利三角形,底邊一定是偶數(如上述之60、80),面積必是整數。

在另一次散步中,我提出在一房間的一角,用兩片式屏風來隔離,如何才能圍出最大面積的問題。我剛敘述完問題時,何格特停止前進,同時舉起右手成水平,並把食指向前伸出,他說:「那就是解答。」我順著他的手指方向望去,在我們散步的前方道路上,正有一個八角形的停止路標。

當時有一種流行的消遣遊戲,全國各地許多數學家都被迷住了。有一個題目最初出現在美國數學月刊(The American Mathematical Monthly)。這個遊戲是從1到100的任一數,設法嚴格的用4個9表示,其中僅能有數學運算符號。例如:

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何格特讓我看他完成的結果,對67、68、70他的結果如下:

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我在Puget Sound學院僅待了一學年,因我接受奧勒岡州立大學米爾恩教授的引人建議——加入他的數學研究團。最困難的是如何向何格特告別,我們作了一次「最後的」散步,然後我首途奧勒岡。

到達奧奧勒岡州沒多久,學年開始,很高興地發現何格特出現在我上課的班級中,他決定到奧勒岡追隨我。很快地,我們開始「共振的散步」(互相激盪的散步)。常常在晚餐後,我或他打電話到另一人家中(我們住在鎮上的兩端),然後被邀者前往打電話者家中,到達後,即展開有趣的數學討論。討論的主題正好在到達家前結束,或由於已太晚了,才結束討論,我們用這種互相激盪的方式消耗晚上的時光。

我們討論的內容,已較達科馬時之散步更深入了。我記得討論的主題之一,是稱為定義明確的歐幾里得建構(well-defined Euclidean construction)。當考慮二軌跡之交點時,若其交角小於某些已知小角q (some given small angle q),則為定義不明確(ill-defined);當一片段的長度小於某給定的小距離d時,要由此片段決定一直線為定義不明確;當一圓的半徑小於d,則為定義不明確;否則即為定義明確的建構。我們證明了任何歐幾里得建構是定義明確的,這些就成為我們第一次合寫論文的內容。

另一論文(發表在美國數學月刊)也是散步中引起的,經擴展後成為何格特的碩士論文,那是從彭卡瑞模式(Poincare model)考慮雙曲線三角學的微分。我們研究許多主題,如Schick定理、非剛體多面體、新矩陣乘法、向量運算的矩陣算法、向量線性獨立(independence)的量的觀點、三面曲面、Rouquet曲線和許多微分幾何的課題。

我們並沒有放棄對趣味數學的興趣,在達科馬的數目遊戲,現在則較困難了,如從1至100的數目用0, 1, 2, 3,……8, 9等十個數字來表示,每一數字只准使用一次。這個問題被何格特聰明而完整的用下式解決,對任何非負整數n,有下結果:

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請注意他用數字的自然順序表示出來(多麼漂亮的答案)。如在式子前面標上負號,則任何整數(負、零、正)皆可以用何格特的式子表示。

在奧勒岡的交往有一件小事發生,事後證明它在何格特的生命中是很重要的。我第一次被邀請在奧勒岡州的大學數學俱樂部演講,選的題目恰巧是「從兔子到向日葵」(註),談著名的費氏數列。當然,何格特參加了演講會,演講內容引起他對數學以及數字那無窮盡引人性質的興趣。演講後數週,何格特很用心地研究有趣的費伯納西數。追求這些數及相關數成為他的主要數學活動,最後導致成立「費氏季刊」,而致力研究這種數。在聖荷西大學那一段長而著名的任期內,何格特以此主題指導許多碩士,單獨地或與門生合作,發表了數量驚人而又非常吸引人的論文,成為當代費伯納西數及相關數的權威。

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在奧勒岡州學院數年後,我返回東部,但何格特仍繼續將他的美麗發現送給我。當我寫下「數學方圓」(Mathematical Circles Squared),我用下面的詞句題獻給他:

贈 何格特

多年來,他送給我的數學美食比任何人多。

在數學界,何格特是雲雀,很遺憾我不能描述得更好,更可惜的是不能再聽到他的歌唱。但,多麼的幸運,我聽到了雲雀之初展歌喉。

註:相關內容可參閱科學月刊第二卷第八期,曹亮吉教授著「兔子、鳳梨、向日葵、帕德能廟、正十邊形、鸚鵡螺」一文。

(本文取材自The Fibonacci Quarterly,(8)﹕193~196, 1981)

6 回應 針對 “向快樂的靈魂致敬”

  1. 林炳炎 寫道:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,233…
    費氏季刊曾刊出1/89是由費伯納西數列所組成,為了證明這件事,曾製作60位的費伯納西數列的加法,發現非常神奇的答案。後來把它擴充至很多有趣的結果,今天先看1/89的展開:
    0.0
    0.01
    0.001
    0.0002
    0.00003
    0.000005
    0.0000008
    0.00000013
    0.000000034
    0.0000000055
    ………………………
    0.011235955………………=1/89

    因為1/89是由44位循環小數所組成,當時為計算這44位循環小數,還用家裡的apple電腦,寫好程式讓電腦去跑,有時計算太久,就早上起來收答案。

    請看我的痕跡

    fibo001.JPG

  2. 北投埔 寫道:

    -0.0
    0.01
    -0.001
    0.0002
    -0.00003
    0.000005
    -0.0000008
    0.00000013
    -0.000000021
    0.0000000034
    -0.00000000055
    0.000000000089
    -0.0000000000144
    0.00000000000233
    -0.000000000000377
    ……………………
    總和= 1/109
    前面談到小數費氏數列順著排列總和,可以得到1/89
    這次談到負正順序小數費氏數列排列,可以得到 1/109
    這是最迷人的結果。

  3. 北投埔 寫道:

    總和=1/109如何證明, 我是有導出一數學式子, 證明是這樣

    fib0001.JPG

    這是最迷人的結果。我的文章刊登在數學傳播第6卷第2期!!

  4. scl 寫道:

    曲冰上網玩數學
    請問:海拔?

  5. 北投埔 寫道:

    不是很高, 才850公尺左右, 氣溫現在與台北一樣, 但台北有冬雨, 這裡幾乎不下雨. Bunun是生態生活達人, 這幾天在這裡與桃園國校4~5年級生與家長, 北一女高一生, 台大醫學系與社會系等同學共同生活與學習.

    曲冰(萬豐)村一下子擠進170多人, 但大家還是住得很愉快, 很多學生住教堂或教室, 我是來簡報萬大~武界之發電設施之歷史, 當然會談及環境變遷!!

    「北一女中曲冰人文社會關懷營」北一女(人文社會資優班)同學則另有三個專題選項:
    一、曲冰部落的前世今生(紀錄布農族在當地的遷徙與文化變遷)
    二、萬大電廠的昨日、今日、明日(了解電廠在當地的影響)
    三、布農族的傳奇(藉由耆老紀錄神化故事的傳承)

    我與北一女高一生做有關發電專題, 他們有台大學生指導, 大家一起談的娛悅.

    舊的寫真就送曲冰(萬豐)年輕老師, 讓他們從事數歷史位化建構的努力!!

    現在5.05外面公雞叫!!

  6. 林炳炎 寫道:

    文章刊登在數學傳播第6卷第2期!!
    下面寫出1/89之變化版1/9899, 1/998999

    fib0023.JPG

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