北投埔林炳炎

版主註：1980年在數學界，不，在費氏空間消失了一顆明亮的巨星——何格特（V. Hoggatt）。他生於1921年，1963年時與布魯西奧（A. Brousseau）和魯格里斯（I. D. Ruggles）共同開闢了一個新的數學園地——費氏季刊。費氏季刊登載費氏數列及其相關數字的一些美妙性質，其中很多文章只要具備高中數學知識就能欣賞。這個園地十八年來經他們辛勤的耕耘，不斷開出神妙之花，但何格特卻提早離開這園地。不過，仍有無數的追隨者將踏著他的腳步，繼續在這花園裡播種。1981年8月份的費氏季刊，為了懷念這位園丁的成就，特刊載師友們為他所寫的紀念文。版主特地譯了他的數學啟蒙老師——艾維斯（H. Eves）的宏文，讓大家知道巨星如何上升。

那是1940年代的中期，我離開紐約州西拉克斯（Syracuse）大學的應用數學系，而就華盛頓州達科馬（Tacoma）的Puget Sound學院（現為大學）的數學系主任。在新職位上，我的教職是學院的初級課程——代數和三角學。第一次上課時，就發現在二十幾位學生中，有一個外表伶俐而碩健的傢伙，他正全神貫注的聽緒論介紹。

一段時間過後，我知道這個學生名叫何格特，正從陸軍退下來，對數學擁有不尋常的資質與愛好。毫無疑問的，在我心目中開始有了這樣的念頭：他是數學指導者所尋找的夢——具有潛力的未來數學家。何格特喜歡討論數學的事物，很快的，我們利用下午，偶而是傍晚，在達科馬鎮上散步並討論數學。在散步中，我提出那些我以為會引起何格特想像及當時他所能理解的題材。

因何格特對數學的美麗性質有特別偏愛和直覺的感受，我們開始討論一個他喜愛的題材——畢氏三連數（Pythagorean triples）。記得有一天晚上，在一簡短討論之後，我想試試他對於新習得知識的應用能力。當時我正好讀完伯努利（J. Bernoule）的1744年著作（Opera of 1744），發現了一個吸引人的小問題：「泰塔斯（Titius）給朋友山普羅尼斯（Sempronius）一塊三角形田地，三邊長是50、50、80，以交換一塊三邊長是50、50、60　的田地，我說這是一項公平的交易。」

何格特看完題目後，我告訢他說，兩個不全等的等腰三角形，如果邊長均為整數，且有相同的腰長、面積，則我們稱此二等腰三角形為一伯努利三角形對。當時，我要何格特找出做這種伯努利三角形對的方法。他立刻發現，這種三角形對可以從畢氏三角形得到。將二個全等的畢氏三角形的短股重合，可得到一等腰三角形；將上述畢氏三角形的另一股重合，可得到另一等腰三角形，此二等腰三角形即構成伯努利三角形對。泰塔斯與山普羅尼斯交換的二塊田地，即由30、40、50畢氏三角形組成。何格特同時指出，用他的方法構建的伯努利三角形，底邊一定是偶數（如上述之60、80），面積必是整數。

在另一次散步中，我提出在一房間的一角，用兩片式屏風來隔離，如何才能圍出最大面積的問題。我剛敘述完問題時，何格特停止前進，同時舉起右手成水平，並把食指向前伸出，他說：「那就是解答。」我順著他的手指方向望去，在我們散步的前方道路上，正有一個八角形的停止路標。

當時有一種流行的消遣遊戲，全國各地許多數學家都被迷住了。有一個題目最初出現在美國數學月刊（The American Mathematical Monthly）。這個遊戲是從1到100的任一數，設法嚴格的用4個9表示，其中僅能有數學運算符號。例如：

何格特讓我看他完成的結果，對67、68、70他的結果如下：

我在Puget Sound學院僅待了一學年，因我接受奧勒岡州立大學米爾恩教授的引人建議——加入他的數學研究團。最困難的是如何向何格特告別，我們作了一次「最後的」散步，然後我首途奧勒岡。

到達奧奧勒岡州沒多久，學年開始，很高興地發現何格特出現在我上課的班級中，他決定到奧勒岡追隨我。很快地，我們開始「共振的散步」（互相激盪的散步）。常常在晚餐後，我或他打電話到另一人家中（我們住在鎮上的兩端），然後被邀者前往打電話者家中，到達後，即展開有趣的數學討論。討論的主題正好在到達家前結束，或由於已太晚了，才結束討論，我們用這種互相激盪的方式消耗晚上的時光。

我們討論的內容，已較達科馬時之散步更深入了。我記得討論的主題之一，是稱為定義明確的歐幾里得建構（well-defined Euclidean construction）。當考慮二軌跡之交點時，若其交角小於某些已知小角q （some given small angle q），則為定義不明確（ill-defined）；當一片段的長度小於某給定的小距離d時，要由此片段決定一直線為定義不明確；當一圓的半徑小於d，則為定義不明確；否則即為定義明確的建構。我們證明了任何歐幾里得建構是定義明確的，這些就成為我們第一次合寫論文的內容。

另一論文（發表在美國數學月刊）也是散步中引起的，經擴展後成為何格特的碩士論文，那是從彭卡瑞模式（Poincare model）考慮雙曲線三角學的微分。我們研究許多主題，如Schick定理、非剛體多面體、新矩陣乘法、向量運算的矩陣算法、向量線性獨立（independence）的量的觀點、三面曲面、Rouquet曲線和許多微分幾何的課題。

我們並沒有放棄對趣味數學的興趣，在達科馬的數目遊戲，現在則較困難了，如從1至100的數目用0, 1, 2, 3,……8, 9等十個數字來表示，每一數字只准使用一次。這個問題被何格特聰明而完整的用下式解決，對任何非負整數n，有下結果：

請注意他用數字的自然順序表示出來（多麼漂亮的答案）。如在式子前面標上負號，則任何整數（負、零、正）皆可以用何格特的式子表示。

在奧勒岡的交往有一件小事發生，事後證明它在何格特的生命中是很重要的。我第一次被邀請在奧勒岡州的大學數學俱樂部演講，選的題目恰巧是「從兔子到向日葵」（註），談著名的費氏數列。當然，何格特參加了演講會，演講內容引起他對數學以及數字那無窮盡引人性質的興趣。演講後數週，何格特很用心地研究有趣的費伯納西數。追求這些數及相關數成為他的主要數學活動，最後導致成立「費氏季刊」，而致力研究這種數。在聖荷西大學那一段長而著名的任期內，何格特以此主題指導許多碩士，單獨地或與門生合作，發表了數量驚人而又非常吸引人的論文，成為當代費伯納西數及相關數的權威。

在奧勒岡州學院數年後，我返回東部，但何格特仍繼續將他的美麗發現送給我。當我寫下「數學方圓」（Mathematical Circles Squared），我用下面的詞句題獻給他：

贈　何格特

多年來，他送給我的數學美食比任何人多。

在數學界，何格特是雲雀，很遺憾我不能描述得更好，更可惜的是不能再聽到他的歌唱。但，多麼的幸運，我聽到了雲雀之初展歌喉。

註：相關內容可參閱科學月刊第二卷第八期，曹亮吉教授著「兔子、鳳梨、向日葵、帕德能廟、正十邊形、鸚鵡螺」一文。

（本文取材自The Fibonacci Quarterly，（8）﹕193～196, 1981）

本文發表於 2010-01-12 at 3:20 下午 且歸類為 數學遊戲或趣味數學, 林炳炎. 你可以發表回應於 RSS 2.0 feed. 你可以 留下回應, 或 自你的網站引用.