費伯納西數列的幾何表示法

本文發表於 2010 年 09 月 01 日 16:19

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自費氏季刊(The Fibonacci Quarterly)刊行之後,用幾何圖形來表現費伯納西數列的奇妙性質,其引人的題材一直不斷地出現。本文將先由狹義的費氏數列建立其與幾何圖形的關係,然後把此關係推展至路卡斯數列,以至於廣義的費氏數列。

費氏數列(狹義)是F1=1,F2=1,F3=F1+F2=2,……,Fn=Fn-2+Fn-1,這數列可用圖一之折磬形面積來表示,其中F2n、F2n+1的一般表法可由數學歸納法求得。所謂折磬形(gnomon)就是在正方形(矩形或平行四邊形)中任一角,切去一較小之正方形(矩形或平行四邊形)後所剩餘之圖形。此形狀如木匠的屈尺,在畢達歌拉斯時代,木匠的屈尺就稱為木匠尺gnomon。

室內裝潢木工用尺:台語叫「角尺」又叫「銅尺」。鋼板或合金鋼板或銅板製刻。用於定直角、劃線做記、取長等。木作必備工具之一。裝修木匠所用之角尺採用台尺刻度,另面則為公分刻度,亦有將公分改為文公尺的。另二種較小型之角尺,一為專用於取直角之「屈尺」,一為取45度切角之「切角板」。

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第m個費氏數的折磬形,稱為Fm–折磬形(F0–折磬形為空白,其面積為0)。圖一最下邊兩圖中,折磬形的邊長關係也表出費氏數列的特性:

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圖一左邊是邊長為Fn+1的方形減去邊長為Fn-1的方形後所形成的F2n-折磬形,所以F2n-折磬形的面積就是此兩方形面積之差

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圖一右邊,一邊長為Fn+1之正方形,加上另一邊長為Fn之正方形,恰為F2n+1-折磬形,故得:

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請注意邊長與折磬形面積之關係,則一些恒等式可以直接從圖上讀出:

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又設Ln=Fn+1+Fn-1(Ln稱為路卡斯數列),則從(6)式可得

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圖一左邊之折磬形,可以重疊如圖二右邊之折磬形;同理,圖一右邊之折磬形亦可重疊如圖二左邊之圖形。F2n-折磬形可分解為折磬形F2j-F2j-2,j=1,2,……n,故由恒等式=F2j-1F2j-F2j-2可得

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我們注意到Fm+2-折磬形可分解為Fm+1-折磬形及Fm-折磬形,而較大者(即Fm+1-折磬形)又可分解為Fm及Fm-1折磬形,分解後之較大者(即Fm-折磬形)又可分解為Fm-1及Fm-2折磬形,繼續這種程序,我們可以把Fm+2折磬形,變形為Fj(j=1,2,……m)折磬形之螺旋形及一附加的單位方形(見圖三)。

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從圖三可得到如下結論:

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圖三之螺旋花樣,將折磬形分成四個象限,由第一象限可得

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其次,考慮F2n-1×F2n+1矩形,即螺旋形的右半平面(第一及第四象限之矩形)。這個長方形的面積比F2n×F2n多了一個黑色單位面積;

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從圖四之右半平面及第二象限F2n×F2n之方形中,可以找到代表相同面積的不同斜線部分。因此

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黑色方塊在這些幾何關係推演中,扮演一有趣的角色。

上面所用方法可以推展到廣義的費氏數列,T1=P T2=q,T3=T1+T2=p + q, …,Tm=Tm-2+Tm-1,,p、q為正整數,其相應的Tm-折磬形可以從圖五看出來。

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下列是從圖五可得的一些廣義費氏數列之恒等式,

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圖六是路卡斯數列(p=1,q=3)所形成之螺旋形,由此圖很容易證明下列恒等式

廣義費氏數列則有

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恒等式(24),可由q×1黑矩形開始,而建立一連串的Tm-折磬形。

最後,本文以研究費氏數列的名家布魯西奧(A. Brousseau)所說的一句話:「在費氏數列與幾何關係中,一定有很多充實而值得發現的材料。」作為結束。

本文改寫自D. W. De Temple, “A New Angle on the Geometry of the Fibonacci Number", Fibonacci Quarterly, 1981)

5 回應 針對 “費伯納西數列的幾何表示法”

  1. 北投埔 寫道:

    從訪客搜尋至本站關鍵字可以看到
    數學遊戲或趣味數學
    是受到歡迎的
    應該努力在這方面耕耘

  2. 訪客 寫道:

    Hi:
    It is a very interesting article.
    Thank you very much for this.
    But I think a lot of people will start feeling dizzness the time they see a lot of equations.
    Maybe you can write something easier, such as the relation between Fibenacci number and Golden Ratio, or Fibenacci number in pinapple and sunflower.
    Anyway good on the good work
    ChungYin Wang

  3. 北投埔 寫道:

    Hi!ChungYin Wang san

    數學不用equations很難表達, 在word press系統不易表現數學符號!
    先回答relation between Fibenacci number and Golden Ratio

    費伯納西數列是
    0** 1** 1 **2** 3** 5 **8** 13** 21** 34** 55** 89** 144** 233** 377** 610** 987**…
    費伯納西數列與黃金分割之關係是:如果我們把此數列一直依同樣規則添加上去,那相鄰2數之比例會很接近黃金分割1.6180339…

    現在就算算看,因為0不得做分母,所以前面幾個差太遠,我們來看後面幾個:
    89/144=1.617977528
    144/233=1.618055556
    233/377=1.618025751
    377/610=1.618037135
    610/987=1.618032787
    兩數的比例會一直接近1.6180339…
    現在玩電腦的朋友已經不寫程式,其實可以用電腦程式來驗證上面說法!!

  4. 北投埔 寫道:

    1985年左右曾經在幼獅少年寫一篇文章,基本上是給國中生看的,題目是『黃金分割—從北市高中聯招數學科做圖題談起』,裡面談到「黃金分割」、「畢氏定理」、「黃金分割率」、金字塔、正十邊形作圖,當然也會提到黃金分割率1.61803398…這無窮小數是如何算出的。而無窮小數也可以由自然數產生,如上面所說。那就請看文章吧!

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    g02.jpg

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  5. 林炳炎 寫道:

    人的身高以肚臍分段,其上下兩段的長度,其比例如符合黃金分割比率,此人的身材符合美人的數學條件。

    2500年前,希臘的名雕刻家菲迪亞斯(Phidias 或 Pheidias,古希臘文:Φειδίας,約公元前480年-前430年)的作品就是例子。他雕刻的男人雕像高68吋,腳底到肚臍42吋,肚臍到頭頂是26吋,胸線到肚臍10吋,胸線到帽子是16吋。這些尺寸之比是:
    16/10=8/5
    42/26=21/13
    26/16=13/8
    68/42=34/21
    這些比例都接近於1.61..,從人的眼光看,近似黃金分割比率。大家注意到沒有,5 **8** 13** 21** 34它們都是費伯納西數列。

    古希臘雅典巴特農神廟之所以給人莊嚴、宏偉和美的感覺,除了建築物充分使用修正視覺視差技術外,其寬度與高度分局是101呎4吋(1216吋)與62呎8吋(752吋),1216/752=1.617 。

    法國建築大師柯比意(法文:Le Corbusier,1887年10月6日-1965年8月27日,原名Charles Edouard Jeannert-Gris)的巴黎郊外別墅,每一個矩形的長寬比符合黃金分割比率。
    http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%8B%92%C2%B7%E6%9F%AF%E5%B8%83%E8%A5%BF%E8%80%B6

    柯比意設計的日本西方藝術博物館

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