北投埔林炳炎

painted by Christian Albrecht Jensen

高斯（Johann Carl Friedrich Gauß， 1777年4月30日~1855年2月23日）是德國數學家、物理學家、天文學家。生於布倫茲維克，卒於哥廷根。高斯是近代數學奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德（Archimedes）、牛頓（Newton）、尤拉（Euler）並列。他被公認為有史以來最多產和影響深遠的數學家之一，有「數學王子」之稱。「數學是科學女王」，高斯有一次如此說，而他的一生也是這句話的最佳證明。高斯對理論和實際應用都有濃厚的興趣，他在數論、天文學、磁學、應用物理、幾何學 · 等都有貢獻。

高斯生於1777年4月30日，在德意志的布倫茲維克。他的父親曾當過園丁、運河看守人、泥水匠。他的母親是石匠的女兒，是個有堅強個性的聰明婦人。他的哥哥對高斯影響很大，他常常鼓勵他，並增強他的辯論機智。

高斯還不會說話時就會計算了。據說在他3歲以前，有一天，他的父親正在計算老闆給他的工資，口中一面說一天多少錢，從什麼時候到什麼時候共多少天，一共多少錢，當他父親算好之後，忽然聽到細小的聲音說：「爸，計算錯了，應該是 · ·才對。」他的父親重新核對之後，發現他的兒子才對。值得注意的是，高斯並沒有拿筆來計算，他用心算。

當他10歲時，在學校上算術課，老師出了一道算術， l + 2 + 3 + … … + 100 ，求 l 加至 100 的和，老師把題目出完，他就舉手回答說：「 5050 」。原來他是用 l + 100＝ 2 + 99 ＝ 3 + 98 ＝ …50+51＝ 101 的型式，形成 50 對和為 101 的相加對，故答案是 5050 。

14歲時，他被介紹給布倫茲維克公爵，公爵已經聽說他的名聲，成為高斯的贊助人。然後他進入在布倫茲維克的加洛林中學，在那兒他很快就精通牛頓、尤拉、拉格蘭治等人的作品。1795 年 10 月高斯離開加洛林中學，到哥廷根大學研究，他在數學與古代語言之間左右為難，這兩個科目他都很喜歡，在 1796 年 4 月，他終於決定以數學為其終生職業。

德國於1955年2月23日發行郵票，紀念高斯的100週年忌辰

高斯有一很有名的幾何作圖—-作一正17邊形圖，歐幾理得曾證明正3邊、正4邊、正5邊、正15邊等圖形，都是幾何可作的圖形。古代希臘人曾規定以直尺及圓規兩種工具來作幾何圖形，如不能用這兩種工具來作圖的，稱為幾何不可作圖，歷史上有三大不可作圖之一是三等分任一已知角，各位讀者請注意，這三大不可作名題，已經被證明不可作了，大家不要再花精力於這方向研究。古希臘人知道無法作出正7、9、11、13、14、17邊形，在往後兩千年沒有一個數學家懷疑這個結果，但高斯用直尺及圓規造出了正17邊形，他同時說明正 2n邊形可作，費馬質數（ 3 , 5 , 17 , 257 , 65537， … ）的奇數項的邊數的正多邊形也是「幾何可作圖」。

高斯對此一發現既高興又驕傲，對他的朋友說，他的墓碑上要刻上正17邊形。在布朗斯韋克的高斯紀念碑上所刻的是17稜角的星，因為雕刻的工人堅持說，正17邊形刻出來之後每個人都會誤以為是圓。想看高斯墓碑請上google以Johann Carl Friedrich Gauss  Cemetery去檢索，在http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss上可以看到，但攝影者只注意整體造型，不在乎是正17邊形或17稜角星。

 高斯10歲時回答老師的問題，是一個有趣的問題，我們把 1 , 1 + 2 ＝ 3 , 1 + 2 + 3 ＝ 6 , 1 + 2 + 3 + 4 ＝ 10 , 1 + 2 + 3 + 4 + 5＝ 15 · · … ， 這1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 …稱為三角形數。這是因有這些數字的物品，我們可以如圖所示一樣把它排成三角形。設 n 是自然數，則n（n+ 1）/2是三角形數，也是高斯回答老師問題的「公式」。在 1796 年 8 月 10 日的日記，高斯證明任一自然數可以分成三個三角形數的和，如 10 = l + 3 + 6 , 15 = 6 + 6 + 3 …他用符號「數＝ △ ＋ △ ＋ △ 」來表示他的成就。

如果你有一盒玻璃珠，可以拿來玩三角形數，你可照圖示方式排列，但這樣排列太單調，我們為何不玩一點花樣？首先在桌面用 15.個玻璃珠排成如圖的三角形，再拿出 10 個玻璃珠放在 15 個玻璃珠之間，每三個玻璃珠中央上面放一個玻璃珠（第一次 15 個玻璃珠要一個一個靠在一起，不要有距離，只要排成正三角形就可以），你會發現 10 個玻璃珠正好放完。然後拿出 6 , 3 , 1 個玻璃珠，依無同樣的方法，剛好可以擺成一正四面體，你共用了 1 ＋ 3＋ 6 ＋＋ 15 ＝ 35 個玻璃珠，你會發現由上而下，各層的玻璃珠數是 1 , 3 , 6 , 10 , 15 ，而其總珠數依層數由 1 至 5 分別為 1 , 4 , 10 , 20 , 35 這種數稱為四面體數。因此，我們可以發現，若 n 是自然數，則n（n + l）( n + 2）/6是四面體數。你有沒有辦法把這題目玩下去呢？ 10

四度空間四面體數、五度空間四面體數、六度空間四面體數…都可以造出來，但似乎不容易以實體表現出來？

（本文原登於《幼獅少年》，因發現自從在blog增加『數學遊戲或趣味數學』文類，增加不少這類網友進入閱讀。）

本文發表於 2009-10-16 at 7:37 上午 且歸類為 數學遊戲或趣味數學, 林炳炎. 你可以發表回應於 RSS 2.0 feed. 你可以 留下回應, 或 自你的網站引用.